《天体物理、宇宙学及物理学电子书合辑》Mathematical.Physics.of.Quantum.Mechanics

书籍推荐 · 发表于 2018-6-29 21:25:22

《天体物理、宇宙学及物理学电子书合辑》Mathematical.Physics.of.Quantum.Mechanics,.Asch,.Springer.2006

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Part I Quantum Dynamics and Spectral Theory
Solving the Ten Martini Problem
A. Avila and S. Jitomirskaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Rough Strategy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Analytic Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 The Liouvillian Side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Gaps for Rational Approximants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Continuity of the Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 The Diophantine Side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1 Reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Localization and Reducibility. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 A Localization Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Swimming Lessons for Microbots
Y. Avron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Landau-Zener Formulae from Adiabatic Transition Histories
V. Betz and S. Teufel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Exponentially Small Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 The Hamiltonian in the Super-Adiabatic Representation . . . . . . . . . . 25
4 The Scattering Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Scattering Theory of Dynamic Electrical Transport
M. B¨uttiker and M. Moskalets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1 From an Internal Response to a Quantum Pump Effect . . . . . . . . . . 33
2 Quantum Coherent Pumping: A Simple Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
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VIII Contents
3 Beyond the Frozen Scatterer Approximation:
Instantaneous Currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
The Landauer-B¨uttiker Formula
and Resonant Quantum Transport
H.D. Cornean, A. Jensen and V. Moldoveanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1 The Landauer-B¨uttiker Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Resonant Transport in a Quantum Dot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 A Numerical Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Point Interaction Polygons: An Isoperimetric Problem
P. Exner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 The Local Result in Geometric Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Proof of Theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 About the Global Maximizer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Some Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Limit Cycles in Quantum Mechanics
S.D. Glazek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 Definition of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Limit Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Marginal and Irrelevant Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Tuning to a Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Generic Properties of Limit Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Cantor Spectrum for Quasi-Periodic Schr¨odinger Operators
J. Puig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1 The Almost Mathieu Operator & the Ten Martini Problem . . . . . . . 79
1.1 The ids and the Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.2 Sketch of the Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.3 Reducibility of Quasi-Periodic Cocycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4 End of Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 Extension to Real Analytic Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3 Cantor Spectrum for Specific Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
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Contents IX
Part II Quantum Field Theory and Statistical Mechanics
Adiabatic Theorems and Reversible Isothermal Processes
W.K. Abou-Salem and J. Fr¨ohlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2 A General “Adiabatic Theorem” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3 The “Isothermal Theorem” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 (Reversible) Isothermal Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Quantum Massless Field in 1+1 Dimensions
J. Derezi′nski and K.A. Meissner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3 Poincar′e Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4 Changing the Compensating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Fields in Position Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7 TheSL(2,R) × SL(2,R) Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8 Normal Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 Classical Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 Algebraic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11 Vertex Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13 Supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Stability of Multi-Phase Equilibria
M. Merkli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1 Stability of a Single-Phase Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.1 The Free Bose Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.2 Spontaneous Symmetry Breaking
and Multi-Phase Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.3 Return to Equilibrium in Absence of a Condensate . . . . . . . . . . 135
1.4 Return to Equilibrium in Presence of a Condensate . . . . . . . . . 135
1.5 Spectral Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2 Stability of Multi-Phase Equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3 Quantum Tweezers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1 Non-Interacting System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2 Interacting System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3 Stability of the Quantum Tweezers, Main Results . . . . . . . . . . . 147
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
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X Contents
Ordering of Energy Levels in Heisenberg Models
and Applications
B. Nachtergaele and S. Starr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2 Proof of the Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3 The Temperley-Lieb Basis. Proof of Proposition 1 . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.1 The Basis for Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.2 The Basis for Higher Spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.1 The Spin 1/2 SUq(2)-symmetric XXZ Chain . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2 Higher Order Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1 Diagonalization at Low Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2 The Ground States of Fixed Magnetization
for the XXZ Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3 Aldous’ Conjecture
for the Symmetric Simple Exclusion Process . . . . . . . . . . . . . . . . 167
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Interacting Fermions in 2 Dimensions
V. Rivasseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2 Fermi Liquids and Salmhofer’s Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3 The Models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 A Brief Review of Rigorous Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5 Multiscale Analysis, Angular Sectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6 One and Two Particle Irreducible Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
On the Essential Spectrum of the Translation Invariant
Nelson Model
J. Schach-Møller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
1 The Model and the Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2 A Complex Function of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3 The Essential Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A Riemannian Covers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Part III Quantum Kinetics and Bose-Einstein Condensation
Bose-Einstein Condensation as a Quantum Phase Transition
in an Optical Lattice
M. Aizenman, E.H. Lieb, R. Seiringer, J.P. Solovej
and J. Yngvason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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Contents XI
2 Reflection Positivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3 Proof of BEC for Small λ and T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4 Absence of BEC and Mott Insulator Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5 The Non-Interacting Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Long Time Behaviour to the Schr¨odinger–Poisson–Xα
Systems
O. Bokanowski, J.L. L′opez, ′ O. S′anchez and J. Soler . . . . . . . . . . . . . . . . 217
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2 On the Derivation of the Slater Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3 Some Results Concerning Well Posedness
and Asymptotic Behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.1 Existence and Uniqueness of Physically Admissible Solutions . 223
3.2 Minimum of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
3.3 Optimal Kinetic Energy Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4 Long-Time Behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5 On the General Xα Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Towards the Quantum Brownian Motion
L. Erd˝os, M. Salmhofer and H.-T. Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
2 Statement of Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3 Sketch of the Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.1 Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.2 The Expansion and the Stopping Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.3 The L2 Norm of the Non-Repetitive Wavefunction . . . . . . . . . . 245
3.4 Sketch of the Proof of the Main Technical Theorem . . . . . . . . . 250
3.5 Point Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4 Computation of the Main Term
and Its Convergence to a Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Bose-Einstein Condensation and Superradiance
J.V. Pul′e, A.F. Verbeure and V.A. Zagrebnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
2 Solution of the Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
2.1 The Effective Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
2.2 The Pressure for Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3 Model 2 and Matter-Wave Grating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
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XII Contents
Derivation of the Gross-Pitaevskii Hierarchy
B. Schlein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
2 The Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
3 Sketch of the Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Towards a Microscopic Derivation of the Phonon Boltzmann
Equation
H. Spohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
2 Microscopic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
3 Kinetic Limit and Boltzmann Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
4 Feynman Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Part IV Disordered Systems and Random Operators
On the Quantization of Hall Currents in Presence of Disorder
J.-M. Combes, F. Germinet and P.D. Hislop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
1 The Edge Conductance
and General Invariance Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
2 Regularizing the Edge Conductance
in Presence of Impurities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
2.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
2.2 A Time Averaged Regularization
for a Dynamically Localized System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
2.3 Regularization Under a Stronger
form of Dynamical Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
3 Localization for the Landau Operator
with a Half-Plane Random Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
3.1 A Large Magnetic Field Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
3.2 A Large Disorder Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Equality of the Bulk and Edge Hall Conductances in 2D
A. Elgart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
1 Introduction and Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
2 Proof of σB = σE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
2.1 Some Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
2.2 Convergence and Trace Class Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
2.3 Edge – Bulk Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
2.4 σE = σB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
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Contents XIII
Generic Subsets in Spaces of Measures
and Singular Continuous Spectrum
D. Lenz and P. Stollmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
2 Generic Subsets in Spaces of Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
3 Singular Continuity of Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4 Selfadjoint Operators and the Wonderland Theorem . . . . . . . . . . . . . 336
5 Operators Associated to Delone Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Low Density Expansion for Lyapunov Exponents
H. Schulz-Baldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
2 Model and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
3 Result on the Lyapunov Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
4 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5 Result on the Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Poisson Statistics for the Largest Eigenvalues
in Random Matrix Ensembles
A. Soshnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
1.1 Wigner Random Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
1.2 Band Random Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
1.3 Sample Covariance Random Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
1.4 Universality in Random Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
2 Wigner and Band Random Matrices
with Heavy Tails of Marginal Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
3 Real Sample Covariance Matrices with Cauchy Entries . . . . . . . . . . . 360
4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Part V Semiclassical Analysis and Quantum Chaos
Recent Results on Quantum Map Eigenstates
S. De Bi`evre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
2 Perturbed CAT Maps: Classical Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
3 Quantum Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
4 What is Known? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5 Perturbed Cat Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
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XIV Contents
Level Repulsion and Spectral Type
for One-Dimensional Adiabatic Quasi-Periodic Schr¨odinger
Operators
A. Fedotov and F. Klopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
1 A Heuristic Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
2 Mathematical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
2.1 The Periodic Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
2.2 A “Geometric” Assumption
on the Energy Region Under Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
2.3 The Definitions of the Phase Integrals
and the Tunelling Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
2.4 Ergodic Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
2.5 A Coarse Description of the Location of the Spectrum in J . . 392
2.6 A Precise Description of the Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
2.7 The Model Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
2.8 When τ is of Order 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
2.9 Numerical Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Low Lying Eigenvalues of Witten Laplacians and
Metastability (After Helffer-Klein-Nier and Helffer-Nier)
B. Helffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
1 Main Goals and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
2 Saddle Points and Labelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
3 Rough Semi-Classical Analysis of Witten Laplacians
and Applications to Morse Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
3.1 Previous Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
3.2 Witten Laplacians on p-Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
3.3 Morse Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
4 Main Result in the Case of Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
5 About the Proof in the Case of Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
5.2 Witten Complex, Reduced Witten Complex . . . . . . . . . . . . . . . . 409
5.3 Singular Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
6 The Main Result in the Case with Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
7 About the Proof in the Case with Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.1 Define the Witten Complex and the Associate Laplacian . . . . . 411
7.2 Rough Localization of the Spectrum of this Laplacian
on 1-Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
7.3 Construction of WKB Solutions Attached
to the Critical Points of Index 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
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Contents XV
The Mathematical Formalism of a Particle in a Magnetic Field
M. M˘antoiu and R. Purice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
2 The Classical Particle in a Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
2.1 Two Hamiltonian Formalisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
2.2 Magnetic Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
3 The Quantum Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
3.1 The Magnetic Moyal Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
3.2 The Magnetic Moyal Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
3.3 The Twisted Crossed Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
3.4 Abstract Affiliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
4 The Limit → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
5 The Schr¨odinger Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
5.1 Representations of the Twisted Crossed Product . . . . . . . . . . . . 427
5.2 Pseudodifferential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
5.3 A New Justification: Functional Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
5.4 Concrete Affiliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
6 Applications to Spectral Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
6.1 The Essential Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
6.2 A Non-Propagation Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
Fractal Weyl Law for Open Chaotic Maps
S. Nonnenmacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
1.1 Generalities on Resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
1.2 Trapped Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
1.3 Fractal Weyl Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
1.4 Open Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
2 The Open Baker’s Map and Its Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
2.1 Classical Closed Baker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
2.2 Opening the Classical Map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
2.3 Quantum Baker’s Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
2.4 Resonances of the Open Baker’s Map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
3 A Solvable Toy Model for the Quantum Baker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
3.1 Description of the Toy Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
3.2 Interpretation of CN as a Walsh-Quantized Baker . . . . . . . . . . . 446
3.3 Resonances of CN=3k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Spectral Shift Function for Magnetic Schr¨odinger Operators
G. Raikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
2 Auxiliary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
2.1 Notations and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
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XVI Contents
2.2 A. Pushnitski’s Representation of the SSF . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
3 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
3.1 Singularities of the SSF at the Landau Levels . . . . . . . . . . . . . . 455
3.2 Strong Magnetic Field Asymptotics of the SSF . . . . . . . . . . . . . 460
3.3 High Energy Asymptotics of the SSF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
Counting String/M Vacua
S. Zelditch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
2 Type IIb Flux Compactifications of String/M Theory . . . . . . . . . . . . 468
3 Critical Points and Hessians of Holomorphic Sections . . . . . . . . . . . . 470
4 The Critical Point Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
5 Statement of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
6 Comparison to the Physics Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
7 Sketch of Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
8 Other Formulae for the Critical Point Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
9 Black Hole Attractors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481